Le plus grand périmètre (version primaire et secondaire I)
Le but de cette activité est de faire une incursion dans les décimaux et toucher d’un doigt l’infini. A travers la recherche du plus grand périmètre possible d’un rectangle d’aire donnée, les élèves font appel à des décimaux inférieurs à 1 et constatent que le périmètre peut devenir aussi grand que l’on veut en rapetissant la largeur du rectangle.
Discipline
Mathématiques
Objectifs pédagogiques (PER)
MSN 22: Poser et résoudre des problèmes pour construire et structurer des représentations des nombres rationnels
MSN 25: Représenter des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques
MSN 32: Poser et résoudre des problèmes pour construire et structurer des représentations des nombres réels
MSN 35: Modéliser des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques
Degrés concernés
7e-9e HarmoS ( 10e HarmoS pour les élèves en difficulté) (10-15 ans)
Enoncé destinée aux élèves
Trouve les dimensions du rectangle de 12 cm2 d’aire qui a le plus grand périmètre.
Matériel
Pas de matériel spécifique.
Durée de l'activité
45 minutes
Commentaires didactiques
Les nombres décimaux, en particulier inférieurs à 1, présentent des difficultés pour les élèves en fin d’école primaire et dans les premiers degrés du CO. Ils ont beaucoup de peine à les mobiliser spontanément, surtout dans un énoncé qui apparaît comme un problème géométrique et dont la seule donnée numérique est un nombre entier. Le but de l’activité est donc qu’ils fassent appel à des nombres inférieurs à 1 pour la largeur. Quand les élèves réalisent que c’est là la solution pour augmenter le périmètre, l’infini s’invite dans la classe car en diminuant la largeur autant que l’on veut (0,1 puis 0,01 puis 0,00…01), la longueur et le périmètre s’agrandissent autant que l’on veut.
Prérequis :
Aire et périmètre du rectangle.
Analyse préalable :
Les difficultés possibles des élèves
- Mobilisation des décimaux : comme déjà évoqué, les élèves ont de la peine à mobiliser les nombres décimaux inférieurs à 1 et il est possible qu’il y ait un blocage après que les élèves aient trouvé pour le périmètre les trois solutions entières: 14 pour le rectangle 3x4, 16 pour le rectangle 2x6 et 26 pour le rectangle 1x12.
- Calcul : bien que les nombres soient simples, des fautes de calcul peuvent toujours apparaître ; en particulier les divisions avec des diviseurs décimaux sont difficiles pour de nombreux élèves.
- Confusion aire-périmètre : ces deux grandeurs ne sont parfois pas bien définies et distinctes pour les élèves.
- Mise en œuvre du potentiel d’investigation
- Pour l’activité de recherche du périmètre maximal, l’enseignant doit se garder de souffler les deux idées-clés de la solution du problème:
- une largeur décimale inférieure à 1 permet d’obtenir de plus grands périmètres qu’une largeur entière
- on peut choisir des nombreux décimaux positifs aussi petits que l’on veut.
Si la classe est bloquée sur les 3 seules solutions entières, on peut faire formuler aux élèves un premier constat : c’est en diminuant la largeur que le périmètre augmente, et que la plus petite largeur proposée est 1.
Une relance possible pourrait être : trouve un rectangle d'aire 12 qui ait un périmètre plus grand que 2012.
Souvent cela permet la découverte, souvent par un seul élève, que
- il faut diminuer la largeur en dessous de 1
- cela est possible si on choisit un nombre décimal inférieur à 1
Cette trouvaille a réellement le statut d’Eureka pour la classe. En général, cette idée est rapidement comprise par d’autres élèves qui s’en donnent à cœur joie pour proposer des nombres toujours plus petits.
C’est alors à l’enseignant d’obtenir que les élèves ne limitent pas à proposer des nombres très petits, mais qu’ils calculent ensuite la longueur du rectangle et son périmètre, ce qui est un très bon exercice de drill du calcul. Cette partie de la tâche, selon que l’enseignant autorise ou non la calculatrice, induit des démarches différentes chez les élèves.
L’absence de calculatrice conduit certains à chercher des nombres « faciles » ou « ronds » pour la largeur simplifiant la division nécessaire pour calculer la longueur. Tous les élèves n’ont pas ce sens des nombres, mais il ne peut se construire que si les élèves constatent par eux-mêmes que certaines divisions sont plus faciles que d’autres. Eventuellement, ce sera aussi l’occasion de travailler le calcul mental en choisissant des dixièmes, centièmes, millièmes des diviseurs de 12 (par exemple 0,3 ou 0,06).
Si la calculatrice est autorisée, les élèves risquent de prendre des nombres au hasard, puisque le calcul est facilement exécuté. L’enseignant peut alors essayer d’obtenir une organisation des résultats en les présentant par exemple sous forme de tableau par valeurs décroissantes de la largeur qui permet une analyse plus facile de la variation de la valeur du périmètre en fonction de la largeur. Cette organisation des résultats n’est souvent pas naturelle chez les élèves faibles et doit être encouragée.
Un autre objectif peut être lié à une utilisation plus performante de la calculatrice, la calculatrice du CO permettant par exemple une « programmation » d’un calcul.
Un prolongement possible autour de la modélisation avec les fonctions et la preuve de la solution (voir « le plus grand périmètre au secondaire).
Référent
Documents à télécharger