Le plus grand périmètre (version secondaire II)
A travers la recherche du plus grand périmètre possible d’un rectangle d’aire donnée, les élèves font appel aux fonctions pour modéliser la variation de l’aire du rectangle en fonction de sa largeur.
Discipline
Mathématiques
Objectifs pédagogiques (PER)
- Démonstration algébrique
- Fonction homographique
Degrés concernés
Début du Post-obligatoire (15-16 ans)
Enoncé destinée aux élèves
Trouve les dimensions du rectangle de 12 cm2 d’aire qui a le plus grand périmètre. Donne une preuve de ton résultat.
Matériel
Pas de matériel spécifique.
Durée de l'activité
45 minutes
Commentaires didactiques
Pour des élèves de 11e et du début du PO qui ont étudié les fonctions et leur représentation graphique, il peut être intéressant de leur demander de « prouver » le résultat illimité du périmètre. Il s’agit alors d’écrire la fonction du périmètre en fonction de la largeur
p(l) = 2 l + 24 / l
et d’en tracer la courbe pour constater que plus la largeur est proche de zéro, plus le périmètre devient grand.
Pour une preuve mathématique rigoureuse, il faut attendre l’apprentissage de l’analyse avec le calcul des limites et donc la 3e année du collège. A noter qu’avec ces élèves, on ne se limite pas aux décimaux mais on travaille avec des nombres réels ou, à défaut, avec des rationnels.
Prérequis :
Aire et périmètre du rectangle.
Ecriture et représentation graphique des fonctions
Analyse préalable :
Les difficultés possibles des élèves
- Expression du périmètre en fonction de la largeur pour une aire donnée, en particulier les élèves peuvent oublier que l’aire est donnée et constante.
- Transformations algébriques simples pour trouver la formule de p(l).
- Construction du graphique p(l): choix des valeurs pour le tracé du graphique, « linéarisation » de la courbe qui risque d’apparaître comme une droite de pente négative (et qui alors aurait un maximum pour l=0, l’ordonnée à l’origine de la droite)
- Conclusions à tirer de l’aspect de la courbe, car la représentation graphique n’est souvent pas « parlante » au début de l’étude des fonctions.
Mise en œuvre du potentiel d’investigation
Il faut une certaine finesse pour que les élèves passent du calcul de plusieurs périmètres pour des largeurs de plus en plus petites à l’idée d’une formule qui décrit de façon concise la variation du périmètre en fonction de la largeur, voire d’une représentation de cette variation par un graphique. Pour éviter que les élèves ne se contentent de quelques valeurs de très grands périmètres pour de très petites largeurs, il est utile d’avoir travaillé précédemment l’idée qu’en mathématiques plusieurs exemples ne suffisent pas pour démontrer. Cela devrait encourager le dépassement de calculs mais n’est pas toujours suffisant pour induire chez tous les élèves la recherche de la fonction qui décrit la variation du périmètre en fonction de la largeur.
Après que chaque élève a réfléchi tout seul sur le problème et probablement trouvé quelques valeurs de périmètres très grands, un travail en petits groupes devrait permettre de constater que plusieurs valeurs ont été trouvées et qu’il semble bien qu’il n’y ait pas de maximum pour le périmètre. Pour aller vers une démonstration, il faut que les élèves montrent ou argumentent que :
- le périmètre se calcule comme la somme du double et du double de l’inverse de la largeur
- plus la largeur diminue, plus le périmètre augmente, proportionnellement à l’inverse de la largeur
- la fonction est continue et monotone, autrement dit qu’il n’y a pas de rupture
- la largeur peut être choisie aussi petite que l’on veut, ce qui donne un périmètre aussi grand que l’on veut.
Si l’argumentation est orale, l’enseignant peut proposer l’écriture mathématique qui synthétise les trois premiers points. Le 4e est une propriété des nombres réels (ou rationnels selon les classes) qu’on peut toujours se rapprocher infiniment près d’un nombre donné, ici de zéro.
Référent
Documents à télécharger