Pliages et mathématiques

Quand on parle de pliage, on imagine l’origami, les cartons d’emballage, mais le lien avec les mathématiques n’est pas toujours évident [1].

Bien sûr, faire du pliage nous permet de comprendre certaines idées concernant la symétrie et d’aucuns ont ainsi tendance à penser au pliage comme une entrée alternative à la règle et au compas en géométrie.

Mais il y a dans le pliage énormément de possibilités mathématiques, permettant un regard différent sur bien des questions. Je vous propose trois pistes de réflexion :

1 : Lien entre pliage et symétrie

La première consiste à voir que, bien qu’étant liés, la symétrie et le pliage ne sont pas mathématiquement pareils, loin s’en faut (liens et différences entre pliage et symétrie).

2 : L’axiomatisation du pliage

Les mathématiques au sens moderne du terme sont apparues dans la Grèce antique. C’est ce que l’on a appelé le miracle grec. La grande nouveauté de cette démarche consistait à ne plus uniquement donner des méthodes de résolution de problèmes, mais de mettre l’accent sur la justification des résultats. Mais pour justifier, il faut se donner des outils ; il y en a de deux types :

• des règles de déductions logiques permettant, partant de résultats déjà acceptés ou démontrés, d’en déduire de nouveaux,
• des axiomes ou des postulats acceptés à priori servant de fondement à la construction théorique. Dans cette démarche, il est naturel de déterminer les capacités et les limitations d’un choix d’axiomes et de règles de déductions.

Pour les Grecs, le domaine de prédilection de cette démarche était la géométrie planaire dans laquelle on ne considérait essentiellement que deux types d’objets de base, les droites et les cercles et leurs interactions. Dans ce cadre, un objet n’existait que s’il pouvait être construit à l’aide de droites et de cercles préalablement définis ; ce qu’on a appelé les constructions à la règle et au compas.

Il fallut attendre Descartes pour décrire quel point du plan pouvait être explicitement construit à la règle et au compas. Essentiellement les seuls points constructibles sont ceux qui possèdent des coordonnées rationnelles ou faisant intervenir des racines carrées.

Dans le texte suivant, vous trouverez l’énoncé du théorème de Descartes, une preuve de ce dernier et, comme conséquence, la preuve que tout angle ne peut être trisecté.

Dans le cadre du pliage, certains auteurs (en particulier Huzita, Justin et Geretschläger) ont cherché à suivre cette démarche et à déterminer les possibilités et les limitations du pliage. Pour ce faire, il fallait tout d’abord se donner, comme dans la géométrie règle et compas, des axiomes et des règles de déductions spécifiques au pliage. C’est cette démarche que je me propose de vous présenter tout en la comparant avec la géométrie règle et compas (comparaison des axiomatiques).

3 : La trisection de l’angle

Cette question est une application de la deuxième piste de réflexion, puisqu’il s’agit de comparer une construction possible par pliage, mais impossible à la règle et au compas, à savoir la trisection de l’angle.

Comme son nom l’indique, le problème de la trisection d’un angle quelconque, revient à donner une méthode, avec les outils théoriques que l’on s’est donnés, permettant de couper exactement un angle quelconque en trois parties égales .

Le théorème de Descartes ainsi qu’un peu de trigonométrie, permettent de démontrer qu’il est impossible de trisecter tout angle à la règle et au compas (voir page 7 du texte sur Descartes).

Conclusion

Ces quelques remarques ne sont bien sûr pas exhaustives, mais j’espère qu’elles vous donnent envie d’en savoir plus sur les liens entre mathématiques et pliages.

Il existe bien d’autres pistes possibles, pour cela, je vous conseille les deux références suivantes : Project Origami de Thomas Hull et Geometrical folding algorithms d’Erik D. Demaine et de Joseph O’Rourke.

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