Séminaire de Topologie et Géométrie — semestre de printemps 2022
Le séminaire de Topologie et Géométrie de
la section de mathématiques de l'Université de
Genève a lieu le jeudi de 15:00 à 16:00. Il se
déroule en salle 1-15, Section de mathématiques, rue du Conseil-Général 7-9.
The Topology and Geometry seminar of the mathematics department of the University of Geneva takes place on Thursdays from 15:00 to 16:00. It takes place in room 1-15, Section de mathématiques, rue du Conseil-Général 7-9.
Exposés
10/03/2022
- Orateur: Christian Blanchet (Université Paris Diderot).
- Titre: Action des difféotopies des surfaces à bord sur l'homologie
de Heisenberg des espaces de configurations.
- Résumé: Avec Awais Shaukat et Martin Palmer nous avons défini et étudié l'homologie
de Heisenberg des espaces de configurations des surfaces à bord.
Nous présenterons cette construction avec les représentations des Mapping Class Groups qui
s'en déduisent.
17/03/2022
- Orateur: Maciej Markiewicz (University of Warsaw).
- Titre: Equivariant Khovanov-Floer theories.
- Résumé: Khovanov-Floer theories were introduced by Baldwin, Hedden and Lobb as
a framework unifying the combinatorially-defined Khovanov homology of
links with various Floer-type homology theories, which are defined
usually via analytical tools. We hope to use (a refinement of, due to
Saltz) this framework to define equivariant versions of certain
Floer-type theories by utilizing spectral sequences form the
equivariant Khovanov homology. I will present the definitions of
Khovanov-Floer theories, explain what new challenges arise in the
equivariant version and present our progress so far.
07/04/2022
- Orateur: Cristina Palmer-Anghel (Université de Genève).
- Titre: $U_q(sl(2))$-invariants quantiques via l'intersection de deux Lagrangiennes dans un puissance symmetrique d'une surface.
- Résumé: Les polynômes de Jones colorés et les polynômes d'Alexander colorés sont des invariants quantiques qui viennent de la théorie des représentations du groupe quantique $U_q(sl(2))$. Nous construisons un modèle topologique unifié pour ces deux séquences d'invariants. Plus précisément nous prouvons que les invariants de Jones de couleur $N$ et d'Alexander de couleur $N$ sont des spécialisations différentes d'une intersection graduée entre deux Lagrangiennes explicites dans une puissance symétrique du disque perforé.
- En particulier, les polynômes de Jones et d'Alexander sont deux specialisations de lamême intersection graduée dans un espace de configurations. Ensuite, on remarque que l'intersection avant specialisation est (à un quotient près) une interpolation explicite entre les polynômes de Jones et d'Alexander.
14/04/2022
- Orateur: Alexis Virelizier (Université de Lille).
- Titre: State sum invariants of homotopy classes of maps.
- Résumé: Homotopy quantum field theories (HQFTs) generalize topological quantum field theories (TQFTs) by replacing manifolds by maps from manifolds to a fixed target space X. In particular, such an HQFT associates a scalar invariant under homotopies to each map from a closed manifold to X. In this talk, I will explain how to generalize the state sum Turaev-Viro-Barett-Westburry TQFT to an HQFT with target a 2-type using fusion categories graded by a crossed module.
28/04/2022: changement d'heure, à 15h30
- Orateur: Louis-Hadrien Robert (Université du Luxembourg).
- Titre: Une action de sl(2) sur les mousses et les homologies d'entrelacs gl(N).
- Résumé: Dans cet exposé, j'expliquerai comment les mousses permettent de donner une définition complètement combinatoire des homologies gl(N), le cas N=2 correspond à la célébrée homologie de Khovanov. Cette description
permet de construire une action de sl(2) sur ces groupes d'homologie et
de les munir de structures p-DG si l'on travaille en caractéristique p.
5/05/2022
- Orateur: Jules Martel-Tordjman (Université de Bourgogne).
- Titre: Non semi-simple quantum representations reconstructed from homology.
- Résumé: Twisted homologies of configuration spaces of a surface S are more or less naturally endowed with an action of the mapping class group Mod(S). When S is a punctured disk, the construction is due to Lawrence while Bigelow used homological intersection to obtain their faithfulness and thus the linearity of braid groups. We have added an action of the quantum group of sl2 on these homological modules and proved that they recover a quantum representation arising from a TQFT (non semi simple), theirself producing highly organized invariants: of knots, 3-manifolds, of Mod(S) for all S... Could we use these homologies to provide these so called quantum invariants with a topological flavour that is often missing? Indeed, these TQFTs are constructed from algebraic tools and their topological content is the subject of many conjectures.
I will present the homological construction, and I might say a word on how to recover quantum representations of mapping class groups of surfaces (with their quantum group structure, partially j.w. M. De Renzi) .
12/05/2022
- Orateur: Gwenael Massuyeau (Université de Bourgogne).
- Titre: Sur la non-trivialité du sous-groupe de torsion de l’abélianisation du noyau de Johnson.
- Résumé: Le noyau de Johnson est le sous-groupe du groupe de difféotopie d’une surface orientée qui est engendré par les twists de Dehn le long de courbes séparantes. L’abélianisation rationnelle du noyau de Johnson a été calculée par Dimca, Hain et Papadima, puis elle a été revisitée par Morita, Sakasai et Suzuki. A partir de cela et en utilisant la théorie des invariants de type fini des 3-variétés, Nozaki, Sato et Suzuki ont montré que la torsion de l’abélianisation du noyau de Johnson est non-triviale.
Dans cet exposé, nous donnerons une preuve plus élémentaire et plus explicite de cette non-trivialité n’utilisant que l’action du groupe de difféotopie de la surface sur l’algèbre de Lie de Malcev de son groupe fondamental. Ces mêmes méthodes « infinitésimales » nous permettront aussi de reformuler de manière diagrammatique l’abélianisation rationnelle du noyau de Johnson. (Travail en collaboration avec Quentin Faes.).
19/05/2022
- Orateur: Alexandre Kosyak (Institute of Mathematics, Kyiv, Ukraine; Max-Planck Institute for Mathematics, Bonn, Germany).
- Titre: q-Pascal triangle and representations of the Braid groups and Quantum groups.
- Résumé: We study connection between representations of the Braid group $B_n$ Lie algebra $\mathfrak{sl}_{n-1}$ and the Quantum group $U_q(\mathfrak{sl}_{n-1})$. The usual Pascal triangle appears very naturally in representations of the group $B_3$. We show how these representations come from finite-dimensional irreducible representations of a Lie algebra $\mathfrak{sl}_2$. Surprisingly, the q-Pascal triangle also appears in representations of $B_3$, due to the description by Tuba and Wenzl (2001) of low dimensional representations of $B_3$. They did not notice that q-Pascal triangle appears in their formulas. The representations connected with q-Pascal triangle should clearly come from that of $U_q(\mathfrak{sl}_{n-1})$, but the connection is still not well understood.
- The two-parameter Lawrence (1990), or Lawrence-Krammer (2002), representation of $B_n$ were used to prove that the Braid groups $B_n$ are linear: Krammer for $B_4$ (2002), Bigelow for all $B_n$ (2001). We show in addition that the Lawrence representation of $B_n$ is a quantization of the symmetric square of the Burau representation.
02/06/2022
- Orateur: Marco De Renzi (University of Zurich).
- Titre: Représentations quantiques et homologiques des groupes de modulaires des surfaces.
- Résumé: La topologie quantique fournit des familles d'invariants très organisées, dont la définition est flexible et générale. Pour certains d'entre eux, une reformulation classique (plus précisément homologique) est connue. Ceci permet de garder le contrôle sur le contenu topologique des constructions résultantes, comme en témoigne la preuve spectaculaire de Bigelow de la linéarité des groupes de tresses. Pour le groupe modulaire Mod(Σ) d'une surface Σ, nous expliquerons comment retrouver la famille de représentations quantiques associées au petit groupe quantique de sl(2) par une construction classique qui fait agir Mod(Σ) sur l'homologie à coefficients tordus des espaces de configurations de Σ. Il s’agit d’un travail en cours, en collaboration avec Jules Martel.
